[수학] 퓨리에 변환 (Fourier Transform)

Q. 어떤 신호를 받았을 때, 어떻게 해야 순수한 진동수들로 분해할 수 있을까?

 

A. 특정 진동수의 신호가 그 밖의 진동수와 다르게 다루어지는 수학적 기계를 만드는 것이다. 핵심 발상은 신호 그래프(시간에 대한 세기의 함)를 한 원에 감는다고 생각해보는 것이다. 매 시점에서 벡터의 크기는 그 시점에서 원래 그래프의 높이와 같다. 우리는 그래프를 원을 따라 감고 있다. 이제 그래피가 질량을 지닌다고 생각해 보자. 무게중심은 주로 중앙에 있으나 우리가 감는 진동수를 바꾸면서 감긴 그래프의 모양이 변함에 따라 무게중심은 조금씩 흔들린다. 다만 감는 진동수와 신호 진동수가 일치할 때는, 무게중심이 예외적으로 오른쪽에 치우치게 됩니다. 이를 x좌표의 무게중심으로 보면 이 때 peak가 발생한다. 무게 중심 그래프를 거의 푸리에 변환(almost fourier transform)이라 하자.

 

 이제 이 기계가 진정으로 놀라운 이유이자 핵심은 이 기계를 이용해 여러 진동수로 구성된 신호를 어떻게 분해하는지에 있다. 단일 진동수로 된 신호를 '거의 푸리에 변환'하면 해당 진동수 이외에서는 0에 가깝고 해당 진동수에서만 봉우리를 갖고, 두 진동수 신호를 합하면 그 변환 그래프는 신호에 포함된 진동수에 대응하는 두 봉우리만을 갖게 된다. 이는 여러 진동수가 뒤섞인 신호에서 원래 신호들을 뽑아낼 수 있다. 그리고 역 푸리에 변환도 존재한다.

 

 무게중심을 다시 살펴보자. 무게중심은 2차원으로 표현되니 복소 평면에서 다루는 것이 우아하다. 복소수는 회점과 감기를 설명하는 데에 탁월하기 때문이다. 오일러의 공식을 살펴보자. $e^{ix}$을 취하면 그 점은 복소 평면에서 단위원을 따라 딱 x rad을 회전한 점과 같다. $e^{2\pi it}$는 1초에 단위원을 한 바퀴 도는 걸 표현할 수 있다. t는 흐른 시간이다. $e^{2\pi ift}$는 시간에 진동수(f, frequency)를 곱한 것이다. 이는 주기가 돌아야 한 바퀴를 돌 수 있음을 나타낸다. $e^{-2\pi ift}$는 시계 반대방향으로 진행함을 나타낸다.

 

 다음으로 어떤 신호를 시간에 대한 세기 함수로 다룬다고 하자. 그 신호를 $g(t)$로 하자. $g(t)$를 $e^{-2\pi ift}$에 곱하면 이 회전하는 복소수는 $g(t)$의 값에 영향을 받아 커졌다가 작어졌다를 반복한다. 그러므로 이 작은 벡터가 회전하며 크기가 바뀌면서 원래 그래프의 감긴 그래프를 그리게 된다. 그리고 이 감긴 그래프의 무게중심의 위치를 추적하는게 문자였다. 적분을 사용하면 된다. 함수의 적분을 구한 뒤 구간의 길이로 나누는 것이다.

 

무게중심: $\frac{1}{t_2-t_1}\times \int_{t_1}^{t_2}g(t)\times e^{-2\pi ift}dt$

 

이는 진동수를 입력값으로 받는 그래프에서 peak가 오는 곳이 해당 주파수를 가진 신호를 가짐을 알 수 있다.